设f=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f'的图象经过点，如图所示，求f的解析式；若对x∈[﹣3，3]都有f（

题文

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点

，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m²﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），

，∴


∴f（x）=ax³+2ax²﹣4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，
在

上单调递增，在

上单调递减，
由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）³+2a（﹣2）²﹣4a（﹣2）=﹣8，
解得a=﹣1
∴f（x）=﹣x³﹣2x²+4x
（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m²﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m²﹣14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，
在

上单调递增，在

上单调递减
且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8
∴f（x）min=f（3）=﹣33
﹣33≥m²﹣14m，3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax3+bx2+cx的.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。