题文
已知f(x)是二次函数,且f(x+2)+f(x)=2x2+5x+5,求函数f(x)的解析式. 题型:未知 难度:其他题型答案
∵f(x)是二次函数,∴设f(x)=ax2+bx+c,
则f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+4a+2b+c,
∴f(x+2)+f(x)=2ax2+(4a+2b)x+4a+2b+2c,
∵f(x+2)+f(x)=2x2+5x+5,
∴2a=24a+2b=54a+2b+2c=5,
解得a=1,b=12,c=0,
∴f(x)=x2+12x.
解析
2a=24a+2b=54a+2b+2c=5考点
据考高分专家说,试题“已知f(x)是二次函数,且f(x+2)+.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法:
(1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得
,然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。