已知函数f=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值求函数f的解析式；求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²﹣3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³﹣3x
（2）∵f（x）=x³﹣3x，
∴f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，f_max（x）=f（﹣1）=2，f_min（x）=f（1）=﹣2
∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|
|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|=2﹣（﹣2）=4
（3）f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
∵曲线方程为y=x³﹣3x，
∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x₀，y₀），
切线的斜率为

（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x₀³﹣3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，
下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3，
则g′（x₀）=6x₀²﹣6x₀，由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1
∴关于x₀方程2x₀³﹣3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是

，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2﹣.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。