已知f是二次函数，不等式f＜0的解集是，且f在区间[-1，4]上的最大值是12．求f的解析式；是否存在实数m，使得

题文

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，使得方程f(x)+37x=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可设f（x）=ax（x-5）（a＞0）．
∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a．
由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）方程f(x)+37x=0等价于方程 2x³-10x²+37=0．
设h（x）=2x³-10x²+37，则h'（x）=6x²-20x=2x（3x-10）．
在区间x∈(0，103)时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
在区间（-∞，0），或(103，+∞)上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（103）是极小值．
∵h(3)=1＞0，h(103)=-127＜0，h(4)=5＞0，
∴方程h（x）=0在区间(3，103)，(103，4)内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．
而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．
画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．
所以存在惟一的自然数m=3，使得方程f(x)+37x=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实数根．

解析

37x

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。