已知f为二次函数，不等式f+2＜0的解集为(-1，13)，且对任意α，β∈R恒有f≤0，f≥0．数列an满足a1=1，3

题文

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为( -1，  13 )，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，3an+1=1-1f′(an)（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设bn=1an，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，f(x)+2=a(x+1)(x-13)（a＞0），
即f(x)=ax2+2a3x-a3-2
令α=π2，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即a+2a3-a3-2=0，得a=32．
∴f(x)=32x2+x-52．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则3an+1=1-1f′(an)=1-13an+1=3an3an+1
即an+1=an3an+1，两边取倒数，得1an+1=3+1an，即b_n+1=3+b_n．
∴数列b_n是首项为b1=1a1=1，公差为3的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
=n2(b2+bn)2=n4(4+3n-2)=3n2+2n4
（2）当n为奇数时Tn=Tn-1-Sn=3 (n-1)2+2 (n-1)4-n (1+3n-2)2=-3n2-2n+14
综上，Tn=-3n2-2n+14  ( n为奇数 )3n2+2n4  ( n为偶数 ).（13分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。