设函数f(x)=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f在点）处的切线方程为y=3．求f的解析式：证明：函数y=f的

题文

设函数f(x)=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′(x)=a-1(x+b)2，
于是2a+12+b=3a-1(2+b)2=0
解得a=1b=-1或a=94b=-83.
因a，b∈Z，故f(x)=x+1x-1．
（Ⅱ）证明：已知函数y₁=x，y2=1x都是奇函数．
所以函数g(x)=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f(x)=x-1+1x-1+1．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点(x0，x0+1x0-1)．
由f′(x0)=1-1(x0-1)2知，过此点的切线方程为y-x20-x0+1x0-1=[1-1(x0-1)2](x-x0)．
令x=1得y=x0+1x0-1，切线与直线x=1交点为(1，x0+1x0-1)．
令y=x得y=2x₀-1，切线与直线y=x交点为（2x₀-1，2x₀-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为12|x0+1x0-1-1||2x0-1-1|=12|2x0-1||2x0-2|=2．
所以，所围三角形的面积为定值2．

解析

1(x+b)2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax+1x+b(a，b∈.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。