设f=13x3+mx2+nx．如果g=f′-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f的解析式；如果m+n＜10（m，n∈N+

题文

设f（x）=13x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，
所以m-1=2(m-3)2+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=13x³+3x²+2x． 
（2）因为f′（x）=x²+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有两不等实根，
则△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=(x1+x2) 2-4x1x2=2m2-n且为正整数．
又因为m+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2时才能有满足条件的m、n．
当m=2时，只有n=3符合要求；
当m=3时，只有n=5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求．

解析

m-1=2(m-3)2

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=13x3+mx2+nx．（1.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。