已知数列{an}的首项为1，f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn．若{an}为常数列，求f的值；若{a

题文

已知数列{a_n}的首项为1，f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn（n∈N₊）．
（1）若{a_n}为常数列，求f（4）的值；
（2）若{a_n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；
（3）数列{a_n}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ对一切n∈N₊都成立．若能，求出数列{a_n}的通项公式；若不能，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}为常数列，且首项为1，故有a_n=1，
∴f（4）=C14+C24+C34+C44=15．
（2）若{a_n}为公比为2的等比数列，则a_n=2^n-1，（n∈N₊）．
f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn=C1n+21C2n+…+2k-1Ckn+…+2n-1Cnn，
故1+2f（n）=1+2C1n+22C2n+…+2kCkn+…+2nCnn=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
∴f（n）=3n-12．
（3）假设数列{a_n}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ对一切n∈N₊都成立．
设公差为d，则 f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn ①，
且 f(n)=anCnn+an-1Cn-1n+…+an-kCn-kn+…+a1C1n  ②，
把①、②相加可得 2f（n）=2a_n+（a₁+a_n-1）（C1n+C2n+C3n+…+Cn-1n）
∴f（n）=a_n+a1+an-12（C1n+C2n+C3n+…+Cn-1n） 
=a_n+a1+an-12（2ⁿ-2）=1+（n-1）d+[2+（n-2）d]（2^n-1-1）．
∴f（n）-1=（d-2）+[2+（n-2）d]]•2^n-1=（n-1）2ⁿ 恒成立．
即 （d-2）+（d-2）•[n+2]•2^n-1=0 n∈N₊都成立，∴d=2，
故存在数列{a_n}使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ对一切n∈N₊都成立，且通项公式为a_n=2n-1．（其它方法相应给分）

解析

C14

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项为1，f(n)=a.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。