已知f=ax3+bx2+cx有极大值5，其导函数y=f′的图象如图所示，则f的解析式为______．

题文

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）有极大值5，其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式为______．

题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），∴f^′（x）=3ax²+2bx+c．
由导函数y=f′（x）的图象可知：当x＜1时，f^′（x）＞0；当x=1时，f^′（1）=0；当1＜x＜2时，f^′（x）＜0．
∴函数f（x）在x=1时取得极大值5，∴f（1）=5．
又由图象可知，1，2是导函数f^′（x）的零点．
由上可得f(1)=5f′(1)=0f′(2)=0，即a+b+c=53a+2b+c=012a+4b+c=0解得a=2b=-9c=12．
∴f（x）=2x³-9x²+12x．
故答案为f（x）=2x³-9x²+12x．

解析

f(1)=5f′(1)=0f′(2)=0

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。