已知函数f=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．求函数f的解析式；设函数g=f+13mx

题文

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+13mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+13mx，
g′（x）=3x²-4x+1+m3，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x²-4x+1+m3=0有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=23，在x=23左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x₁=13（2-1-m），x₂=13（2+1-m），
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：



故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；
当x=13（2-1-m）时g（x）有极大值；
当x=13（2+1-m）时g（x）有极小值．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+2bx2+cx-.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。