已知函数f=x3+ax2+ax+b的图象过点P，且在x=-1处的切线斜率为6．求函数y=f的解析式；求函数y=f的单调区

题文

已知函数f（x）=x³+ax²+ax+b的图象过点P（0，2），且在x=-1处的切线斜率为6．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+a．
由题意知f(0)=b=2f′(-1)=3-2a+a=6，解得a=-3b=2．
∴f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-6x-3．
令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得x1=1-2，x2=1+2．
当x＜1-2，或x＞1+2时，f′(x)＞0；
当1-2＜x＜1+2时，f′(x)＜0．
∴f（x）的单调递增区间为：(-∞，1-2)和(1+2，+∞)，
f（x）的单调递减区间为：(1-2 ，1+2)．

解析

f(0)=b=2f′(-1)=3-2a+a=6

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+ax+b.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。