若函数f=是偶函数，且它的值域为=______．

题文

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于f（x）的定义域为R，值域为（-∞，4]，
可知b≠0，∴f（x）为二次函数，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx²+（2a+ab）x+2a²．
∵f（x）为偶函数，
∴其对称轴为x=0，∴-2a+ab2b=0，
∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．
若a=0，则f（x）=bx²与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=-2，又其最大值为4，
∴4b×2a24b=4，∴2a²=4，
∴f（x）=-2x²+4．
故答案为-2x²+4

解析

2a+ab2b

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。