题文
已知函数f（x）=x2，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4e；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；
（3）试探究是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=2ex，∴f′（x）+g′（x）=2（x+ex）≥2×2e=4e，
当且仅当x=ex，即x=e时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4e；（4分）
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）
=2（x-ex）=2(x2-e)x（x＞0），
令F′（x）=0，得x=e（x=-e舍），
∴当0＜x＜e时，F′（x）＜0，F（x）
在（0，e）上单调递减；
当x＞e时，F′（x）＞0，F（x）
在（e+∞）上单调递增．（8分）
∴当x=e时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F（x）min=F（e）=e-2elne=0．
∴F（x）的单调递增区间为（e，+∞），
单调递减区间为（0，e），
最小值为0；（10分）
（3）由（2）知，f（x）与g（x）
的图象有且仅有一个公共点（e，e），
∴猜想：一次函数的图象就是f（x）与g（x）
的图象在点（e，e）处的公切线，
其方程为y=2ex-e．（12分）
下面证明：当x＞0时，f（x）≥2ex-e，
且g（x）≤2ex-e恒成立．
又∵f（x）-（2ex-e）=（x-e）2≥0，
∴f（x）≥2ex-e对x＞0恒成立．
又令G（x）=2ex-e-g（x）=2ex-e-2elnx，
∴G′（x）=2e-2ex=2e(x-e)x，∴当0＜x＜e时，
G′（x）＜0，G（x）在（0，e）上单调递减；
当x＞e时，G′（x）＞0，
G（x）在（e，+∞）上单调递增．
∴当x=e时，G（x）有极小值，也是最小值，
即G（x）min=G（e）=2e-e-2elne=0，
∴G（x）≥0，即g（x）≤2ex-e恒成立．
故存在一次函数y=2ex-e，使得当x＞0时，
f（x）≥2ex-e，且g（x）≤2ex-e恒成立．
解析
2ex考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2，g（x）=2el.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
