对于函数f，若存在x0∈R，使f=x0成立，则称x0为f的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，

题文

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2)＜-12．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足4Sn•f(1an)=1，求数列通项a_n；
（3）如果数列{a_n}满足a_n=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x2+abx-c=x得：（1-b）x²+cx+a=0，由根与系数的关系，得：2+0=-c1-b2•0=a1-b，
解得a=0b=1+c2，代入解析式f(x)=x2(1+c2)x-c，由f(-2)=-21+c＜-12，
得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，于是f(x)=x22(x-1)，(x≠1)．
（2）由题设，知4Sn•(1an)22(1an-1)=1，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；
且a_n≠1，以n-1代n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
由①-②得：2a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，以n=1代入①得：2a₁=a₁-a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=-1；由a₁=-1，若a_n=-a_n-1得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴a_n=-n；
（3）证法（一）：运用反证法，假设a_n＞3（n≥2），则由（1）知an+1=f(an)=a2n2an-2，
∴an+1an=an2(an-1)=12•(1+1an-1)＜12(1+12)=34＜1，即an+1＜an(n≥2，n∈N)
∴a_n＜a_n-1＜…＜a₂，而当n=2时，a2=a212a1-2=168-2=83＜3； &∴an＜3，
这与假设矛盾，故假设不成立，∴a_n＜3．
证法（二）：由an+1=f(an)得an+1=a2n2an-2，1an+1=-2(1an-12)2+12≤12
得a_n+1＜0或a_n+1≥2，若a_n+1＜0，则a_n+1＜0＜3，结论成立；
若a_n+1≥2，此时n≥2，从而an+1-an=-an(an-2)2(an-1)≤0，
即数列{a_n}在n≥2时单调递减，由a2=223，可知an≤a2=223＜3，在n≥2上成立．

解析

x2+abx-c

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。