题文
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤18(x+2)2成立．（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．…（2分）因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤18(x+2)2成立，所以f（2）≤18(2+2)2=2．
所以f（2）=2．…（4分）
（2）由f(2)=2 f(-2)=0得4a+2b+c=24a-2b+c=0
从而有b=12，c=1-4a．于是f（x）=ax2+12x+1-4a．…（7分）
f（x）≥x⇔ax2-12x+1-4a≥0．
若a=0，则-12x+1≥0不恒成立．
所以a＞0 (-12)2-4a(1-4a)≤0即a＞0 (4a-12)2≤0解得a=18．…（11分）
当a=18时，f（x）=18x2+12x+12=18(x+2)2
满足f（x）≤18(x+2)2(x∈(1， 3))．…（12分）
故f（x）=18x2+12x+12．…（14分）
解析
18考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
