已知定义在R上的偶函数f的最小值为1，当x∈[0，+∞）时，f=aex．求函数f的解析式；求最大的整数m，使得存在t∈R

题文

已知定义在R上的偶函数f（x）的最小值为1，当x∈[0，+∞）时，f（x）=ae^x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤ex．（注：e为自然对数的底数） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（x）=ae^x为单调函数，故f（0）=1，得a=1，…（2分）
当x＜0时，-x＞0，则f（x）=f（-x）=3e^-x
综上：f(x)=ex，x≥0e-x，x＜0；           …（5分）
（Ⅱ）因为任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤ex
故f（1+t）≤e且f（m+t）≤em
当1+t≥0时，e^1+t≤e，从而1+t≤1，
∴-1≤t≤0
当1+t＜0时，e^-（1+t）≤e，从而-（1+t）≤1，
∴-2≤t＜-1
综上-2≤t≤0∵m≥2，故m+t＞0
故f（m+t）≤em得：e^m+t≤em
即存在t∈[-2，0]，满足et≤emem
∴emem≥{et}min=e-2，即e^m-e³m≤0
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），则g′（x）=e^x-e³
当x∈（2，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
又g（3）=-2e³＜0，g（2）=-e³＜0，g（4）=e³（e-4）＜0，g（5）=e³（e²-4）＞0
由此可见，方程g（x）=0在区间[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5），
且当x∈[2，m₀]时g（x）≤0，当x∈[m₀，+∞）时g（x）≥0
∵m∈Z，故m_max=4，此时t=-2．…（12分）
下面证明：f（x-2）=e^|x-2|≤ex对任意x∈[1，4]恒成立
①当x∈[1，2]时，即e^2-x≤ex，等价于e≤xe^x
∵x∈[1，2]，
∴e^x≥e，x≥1，xe^x≥e
②当x∈[2，4]时，即e^x-2≤ex，等价于{e^x-3-x}_max≤0
令h（x）=e^x-3-x，则h'（x）=e^x-3-1
∴h（x）在（2，3）上递减，在（3，4）上递增
∴h_max=max{h（2），h（4）}
而h(2)=1e-2＜0，h(4)=e-4＜0
综上所述，f（x-2）≤ex对任意x∈[1，4]恒成立．…（15分）

解析

ex，x≥0e-x，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的偶函数f（x）的最小值为.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。