已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3求函数的解析式写出它的单调区间求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值．

题文

已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，有极大值3
（1）求函数的解析式
（2）写出它的单调区间
（3）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y′=3ax²+2bx，当x=1时，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即 3a+2b=0a+b=3，解得a=-6，b=9，
所以函数解析式为：y=-6x³+9x²．
（2）由（1）知y=-6x³+9x²，
y′=-18x²+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，
所以函数的单调递增区间为（0，1），函数的单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由（2）知：当x=0时函数取得极小值为0，当x=1时函数取得极大值3，
又y|_x=-2=84，y|_x=2=-12．
故函数在[-2，2]上的最大值为84，最小值为-12．

解析

3a+2b=0a+b=3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。