已知函数f=ax3+bx，曲线y=f在点）处的切线方程为y=2x-2．求函数f的解析式；过点能作几条直线与

题文

已知函数f（x）=ax³+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=3ax²+b，由题知…（1分）
f′(1)=2f(1)=2-2=0⇒3a+b=2a+b=0⇒a=1b=-1
∴f（x）=x³-x…（5分）
（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t²-1）x-2t³…（7分）
由切线过点（2，2）得：2=（3t²-1）•2-2t³，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t³-3t²+2=0的实根个数…（9分）
令g（t）=t³-3t²+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
t（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）g′（t）+0-0+g（t）↗极大值2↘极小值-2↗由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线…（13分）

解析

f′(1)=2f(1)=2-2=0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。