已知f=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点，并且在x=1处切线的方向向量为n=(1，3)．若x=23是函数f的极值点，求f（x

题文

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为n=(1，3)．
（1）若x=23是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[32，2]单调递增，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
因为函数的图象与y轴交于点（0，2），
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为n=(1，3)，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因为x=23是函数f（x）的极值点，
所以f′（23）=43+4a3+b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x³+a=2x²-4x+2．
（2）由题意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，
因为函数f（x）在区间[32，2]单调递增，
所以f′（x）=3x²-bx+b≥0在[32，2]上恒成立，
即b≤3x2x-1在[32，2]上恒成立，
令g（x）=3x2x-1，x∈[32，2]，
所以g（x）=3×(x-1)2+2(x-1)+1x-1=3×[(x-1)+1x-1+2]≥12，
当且仅当x-1=1x-1，即x=2时，g（x）有最小值为12．
所以b≤g（x）_min=12，
所以实数b的取值范围（-∞，12]．

解析

n

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=x3+ax2+bx+c的图.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。