题文
已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为f′（x）=a(x2+b)-ax(2x)(x2+b)2，而函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2，所以f′(1)=0f(1)=2，即a(1+b)-2a=0a1+b=2，解得a=4b=1．故f（x）=4x1+x2即为所求．
（2）由（1）知f′（x）=4(x2+1)-8x2(x2+1)2=-4(x-1)(x+1)(1+x2)2，令f′（x）＞0，得-1＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为[-1，1]．
由已知得m≥-12m+1≤1m＜2m+1，解得-1＜m≤0．
故当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．
解析
a(x2+b)-ax(2x)(x2+b)2考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=axx2+b在x=1处.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
