已知二次函数g对任意实数x都满足g+g=x2-2x-1，且g=-1．求g的表达式；设1＜m≤e，H=g（

题文

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+12）+mlnx-（m+1）x+98，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设g（x）=ax²+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2
所以a=12c=-1
又g（1）=-1
所以b=-12
所以g(x)=12x2-12x-1 
（2）H(x)=12x2+mlnx-(m+1)x，  (1＜m≤e)  
因为对∀x∈[1，m]，
H′(x)=(x-1)(x-m)x≤0
故H（x）在[1，m]上为减函数  
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上为减函数则：
|H（x₁）-H（x₂）|＜1⇐12m2-lnm-12＜1⇔12m-lnm-32m＜0
记h(m)=12m-lnm-32m(1＜m≤e)，
则h′(m)=12-1m+32m2=32(1m-13)2+13＞0
所以h(m)=12m-lnm-32m(1＜m≤e)是单调增函数，
所以h(m)≤h(e)=e2-1-32e=(e-3)(e+1)2e＜0，故命题成立

解析

a=12c=-1

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。