1、已知函数f(x)=ax+x-2x+1，求证：函数f在上为增函数；方程f=0没有负数根．

题文

1、已知函数f(x)=ax+x-2x+1（a＞1），
求证：（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）设-1＜x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=ax1+x1-2x1+1-ax2-x2-2x2+1
=ax1-ax2+x1-2x1+1-x2-2x2+1=ax1-ax2+3(x1-x2)(x1+1)(x2+1)，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴3(x1-x2)(x1+1)(x2+1)＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则ax0+x0-2x0+1=0，
即ax0=2-x0x0+1=3-(x0+1)x0+1=3x0+1-1，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，∴3x0+1＞3，
∴3x0+1-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴3x0+1＜0，∴3x0+1-1＜-1，而ax0＞0．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．

解析

x1-2x1+1

考点

据考高分专家说，试题“1、已知函数f(x)=ax+x-2x+1.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。