设函数f=x2ax-2，又存在非零自然数m，使得f=m，f＜-1m成立．求函数f的表达式；设{an}是各项非零

题文

设函数f（x）=x2ax-2（a∈N^*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-1m成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{a_n}是各项非零的数列，若f(1an)=14(a1+a2+…+an)对任意n∈N^*成立，求数列{a_n}的一个通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{a_n}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=x2ax-2（a∈N^*），
∴f（m）=m2am-2=m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=2a-1①；
又f（-m）=m2-am-2＜-1m，即m3am+2＞1，
由（a，m∈N^*）得：m³＞am+2②，
把①代入②，得8(a-1)3＞2aa-1+2；
整理，得8(a-1)3-2a-1-4＞0，
根据a≠1，a∈N^*，取a=2，满足上式，当a≥3时，8(a-1)3-2a-1-4＜0，
故a=2，此时m=2；
所以，函数f（x）=x22x-2．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根据（1）知f（x）=x22x-2，则f(1an)=12an-2an2，
代入f(1an)=14(a1+a2+…+an)，
得2a_n-2a_n²=4（a₁+a₂+…+a_n）=4s_n，即a_n-a_n²=2s_n，
∴a_n-1-a_n-1²=2s_n-1（n≥2），
∴（a_n-a_n²）-（a_n-1-a_n-1²）=2a_n，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=-1（n≥2），
又当n=1时，a₁-a₁²=2a₁，
∴a₁=0（舍去），或a₁=-1；
由a_n-a_n-1=-1，得{a_n}是等差数列，通项a_n=-n．
（3）由（2）的条件知，数列{a_n}的通项公式不止一个，
例如由a_n+a_n-1=0，且a₁=-1，可得a_n=（-1）ⁿ（n为奇数时）；
所以，数列{a_n}不是惟一确定的．

解析

x2ax-2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2ax-2（a∈N*）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。