题文
已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx-1，…（2分）依题意f'（1）=f'（2）=0，即3a+2b-1=012a+4b-1=0解得a=-16，b=34…（4分）
∴f(x)=-16x3+34x2-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，
即16x3-34x2-2x-m=0在[-2，0]上有两个不同的实数解 …（6分）
设φ（x）=16x3-34x2-2x-m，则φ′（x）=12x2-32x-2，…（8分）
由φ'（x）=0的x=4或x=-1
当x∈（-2，-1）时φ'（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上递增；
当x∈（-1，0）时φ'（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上递减．…（10分）
依题意有φ(-2)≤0φ(-1)＞0φ(0)≤0⇔m≥-13m＜1312m≥0⇔0≤m≤1312
∴实数m的取值范围是0≤m＜1312．…（13分）
解析
3a+2b-1=012a+4b-1=0考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
