已知函数f=a•bx的图象过点A和B．求函数f的解析式；记an=log2f、n是正整数，Sn是数列{an}的

题文

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（4、14）和B（5，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=log₂f（n）、n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，解关于n的不等式a_nS_n≤0；
（3）对于（2）中的a_n与S_n，整数10⁴是否为数列{a_nS_n}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由14=a•b4，1=a•b⁵，得b=4，a=11024．
故f(x)=110244xx．
（2）由题意an=log2(11024•4n)=2n-10．
Sn=n2(a1+an)=n(n-9)，
a_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
由a_nS_n≤0，得（n-5）（n-9）≤0，即 5≤n≤9．
故 n=5，6，7，8，9．
（3）a₁S₁=64，a₂S₂=84，a₃S₃=72，a₄S₄=40．
当5≤n≤9时，a_nS_n≤0．
当10≤n≤22时，a_nS_n≤a₂₂S₂₂=9724＜10⁴．
当n≥23时，a_nS_n≥a₂₃S₂₃=11592＞10⁴．
因此，10⁴不是数列{a_nS_n}中的项．

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a•bx的图象过点A（.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。