已知函数f=ax3+bx2+cx为奇函数，且f在x=1处取得极大值2．求函数y=f的解析式；记g(x)=f(x)

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记g(x)=f(x)x+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f′（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴f′(1)=0f(1)=2⇒3a+c=0a+c=2.
解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)=-2x+(k+1)1x=-2x2+(k+1)x
因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，
∴g′(x)=-2x2+(k+1)x＜0．
∴函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得-2x2+(k+1)x＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得-k+12＜x＜k+12，
结合x＞0，得0＜x＜k+12；
令g'（x）＜0，得-2x2+(k+1)x＜0，同上得2x²＞（k+1），x＞k+12，
∴k＞-1时，单调递增区间为（0，k+12），
单调递减区间为（k+12，+∞）
综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，k+12），
单调递减区间为（k+12，+∞）

解析

f′(1)=0f(1)=2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。