已知函数f=x2+cax+b为奇函数，f＜f，且不等式0≤f≤32的解集为[-2，-1]∪[2，4]，则f的解析式为______．

题文

已知函数f（x）=x2+cax+b为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤32的解集为[-2，-1]∪[2，4]，则f（x）的解析式为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴x2+c-ax+b=x2+c-ax-b，即-ax+b=-ax-b，即2b=0，
∴b=0．
由已知不等式0≤f（x）≤32的解集为[-2，-1]∪[2，4]，
∴f(2)≥0f(-2)≥0，
又∵f（-2）=-f（2），
∴f（2）=0，即22+c2a=0，即c+4=0，
∴c=-4．
∴可得f（x）=x2-4ax．
由f（1）＜f（3），得1-4a＜9-43a，∴-3a＜53a，∴143a＞0，得a＞0．
由0≤f（x）≤32，得0≤x2-4ax≤32，
当x＞0时，上不等式可化为x2-4≥02x2-3ax-8≤0，可化为x≥22x2-3ax-8≤0，
∵当x＞0时，其解集为[2，4]，
∴4是方程2x²-3ax-8=0的解，
∴2×4²-3×4a-8=0，∴a=2．
可验证当a=2，b=0，c=-4时，满足题意．
故f（x）的解析式为f（x）=x2-42x．
故答案为f（x）=x2-42x．

解析

x2+c-ax+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+cax+b为奇函.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。