已知函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N*)，并且f=0，f=2，f(-2)＜-12．求a，b，c的值；是否存在各项均不为零的数列

题文

已知函数f(x)=x2+abx-c  (b， c∈N*)，并且f（0）=0，f（2）=2，f(-2)＜-12．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）是否存在各项均不为零的数列{a_n}，满足4Snf(1an)=1（S_n为数列{a_n}的前n项和）．若有，写出数列的一个通项公式a_n，并说明满足条件的数列{a_n}是否唯一确定；若无，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（Ⅰ）由f（0）=0，得a=0．
由f（2）=2，f(-2)＜-12，得2b-c=2-42b+c＜-12 (b， c∈N*)，即2b-c=22b+c＜8 (b， c∈N*)．…（3分）
解得 b=c=2．
因此，a=0，b=c=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x22x-2．当x≠0且a_n≠1时，1f(x)=2x-2x2，1f(1x)=2x-2x2．
设存在各项均不为零的数列{a_n}，满足4Snf(1an)=1．则4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n²（a_n≠0且a_n≠1）．…（6分）
首先，当n=1时，a₁=S₁=-1；…（7分）
由 2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，2S_n=a_n-a_n²，得2a_n+1=2S_n+1-2S_n=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0．…（9分）
若 a_n+1+a_n=0，则由a₁=-1，得a₂=1，这与a_n≠1矛盾．…（10分）
若 a_n+1-a_n+1=0，则 a_n+1-a_n=-1．
因此，{a_n}是首项这-1，公差为-1的等差数列．
通项公式为 a_n=-n．
综上可得，存在数列{a_n}，a_n=-n符合题中条件．…（11分）
由上面的解答过程可知，数列{a_n}只要满足条件（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0即可．
因此，可以数列一部分满足a_n+1-a_n=-1，另一部分满足a_n+1+a_n=0，且保证a_n≠0且a_n≠1．
例如：数列-1，-2，2，-2，2，-2，2，…；
数列-1，-2，2，-2，-3，3，-3，-4，4，-4，…
因此，满足条件的数列不唯一．…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+abx-c(b，.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。