设f=x+1x的图象为c1，c1关于点A对称的图象为c2，c2对应的函数为g求g的解析表达式；解不等式logag(x)＜

题文

设f（x）=x+1x的图象为c₁，c₁关于点A（2，1）对称的图象为c₂，c₂对应的函数为g（x）
（1）求g（x）的解析表达式；
（2）解不等式logag(x)＜loga92（a＞0且≠1） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设函数g（x）图象c₂上任一点P（x，y），则关于点A（2，1）对称的点P'坐标为（x'，y'），
由中点坐标公式得，x+x′2=2y+y′2=1，解得x'=4-x，y'=2-y，即P'（4-x，2-y），
∵点P'在函数f（x）=x+1x的图象c₁上，∴2-y=4-x+14-x，则y=x-2+1x-4，
∴g（x）=x-2+1x-4．
（2）由g（x）＞0得，x-2+1x-4＞0，即x2-6x+9x-4＞0，
∴（x²-6x+9）（x-4）＞0，解得x＞4，则y=log_a^g（x）的定义域是（4，+∞），
下面分两种情况求
当a＞1时，函数y=log_a^x在定义域上是增函数，
∴原不等式变为x-2+1x-4＜92，即x2-6x+9x-4-92＜0，
∴2x2-21x+542(x-4)＜0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＜0，解得，92＜x＜6；
即不等式的解集是{x|92＜x＜6}，
当0＜a＜1时，函数y=log_a^x在定义域上是减函数，
∴原不等式变为x-2+1x-4＞92，即x2-6x+9x-4-92＞0，
∴2x2-21x+542(x-4)＞0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＞0，解得，x＞6或x＜92，
∵x＞4，∴4＜x＜92或x＞6，即不等式的解集是{x|4＜x＜92或x＞6}，
综上，当a＞1时不等式的解集是{x|92＜x＜6}，
当0＜a＜1时不等式的解集为{x|4＜x＜92或x＞6}．

解析

x+x′2=2y+y′2=1

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x+1x的图象为c1，c1关.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。