对于函数f(x)=x-1x+1，设f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，f3=f[f2]，…，fn+1=f[fn]，（n∈

题文

对于函数f(x)=x-1x+1，设f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N*）．
（1）写出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）的表达式；
（2）根据（I）的结论，请你猜想并写出f_4n-1（x）的表达式；
（3）若x∈C，求方程f₂₀₁₀（x）=x的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵f(x)=1-2x+1∴f2(x)=1-2f(x)+1=1-x+1x=-1x，f3(x)=1+x1-x，
f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=x-1x+1；
（2）根据（I）知：f_n（x）是以4为周期；
∴f4n-1(x)=f3(x)=1+x1-x；
（3）∵f_n（x）是以4为周期，∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-1x
∴-1x=x，∴x²=-1，
∴原方程的解集为{i，-i}．

解析

2x+1

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f(x)=x-1x+1，设f1(.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。