题文
已知函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2，g（x）=13x2+12ax2+6x+2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的x∈（0，+∞），f（x）≤g′（x）恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由函数f（x）的图象过点A（e，e），所以em+n=e，①f′（x）=mlnx+m+nx，所以2m+ne=2，②
联立①②解得m=1，n=0，
所以f（x）=xlnx．
（Ⅱ）由题意知，g′（x）=x2+ax+6，
f（x）≤g′（x），即xlnx≤x2+ax+6，
故a≥lnx-x-6x对任意x∈（0，+∞）成立，
令h（x）=lnx-x-6x（x＞0），
则h′（x）=1x-1+6x2=-x2+x+6x2=-x2-x-6x2=-(x+2)(x-3)x2．
令h′（x）=0，因为x＞0，则x=3，
当0＜x＜3时，h′（x）＞0，当x＞3时，h′（x）＜0，
∴x=3时h（x）取最大值，h（x）max=ln3-5．
故a≥ln3-5．所以实数a的取值范围为[ln3-5，+∞）．
解析
nx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（mx+n）lnx的图.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
