已知向量a=(4x+1，2x)，b=(y-1，y-k)，a⊥b．求函数y=f的解析式；若函数f的最小值为-3，求实数k的值；若对任

题文

已知向量a=(4x+1 ， 2x) ， b=(y-1 ， y-k) ， a⊥b．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值为-3，求实数k的值；
（3）若对任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=(4x+1 ， 2x) ， b=(y-1 ， y-k) ， a⊥b．
∴（4^x+1）（y-1）+2^x（y-k）=0，化简整理得y（4^x+2^x+1）=4^x+k•2^x+1
因此，函数y=f（x）的解析式为y=4x+k•2x+14x+2x+1；
（2）∵f（x）=4x+k•2x+14x+2x+1=1+(k-1)•2x4x+2x+1
∴根据函数f（x）的最小值为-3，得t=(k-1)•2x4x+2x+1的最小值为-4
∵2^x+2^-x+1≥22x•2-x+1=3
∴当k＞1时，(k-1)•2x4x+2x+1=k-12x+2-x+1≤k-13；当k＜1时，(k-1)•2x4x+2x+1=k-12x+2-x+1≥k-13；
k=1时，函数f（x）=1恒成立不符合题意．
∴结合题意可得k＜1，且当且仅当2^x=2^-x=1，即x=0时，t的最小值为k-13=-4，解之得k=-11
即函数f（x）的最小值为-3时，实数k的值为-11；
（3）∵对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因为2＜f（x₁）+f（x₂）≤2k+43且1＜f（x₃）≤k+23，
∴k+23≤2，解之得1＜k≤4；
当k=1时，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足题意的条件；
当k＜1时，因为2k+43≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且k+23≤f（x₃）＜1，
∴2k+43≥1，解之得-12≤k＜1；
综上所述，实数k的取值范围是[-12，4]

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(4x+1，2x)，b=(y.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。