设函数y=f对任意的实数x，都有f(x)=12f(x-1)，且当x∈[0，1]时，f=27x2．若x∈[1，2]时，求y=f的

题文

设函数y=f（x）对任意的实数x，都有f(x)=12f(x-1)，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x²（1-x）．
（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N^*，且 x_n∈x[n，n+1]，记 S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），求证：0≤S_n＜4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=12f(x-1)，
设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，
∴f（x）=12f(x-1)=272（x-1）²（2-x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，
f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），
∴f（x）=12f(x-1)=122(x-2)=123(x-3)=…=12n(x-n)=272n（x-n）²（n+1-x），
∴y=f（x），x∈[0，+∞]．
f（x）=272n(x-n)2(n+1-x)，x∈[n，n+1]，n∈N．
∴f′（x）=272n[2(x-n)(n+1-x)-(x-n)2]
=-272n[3x²-2（3n+1）x+n（3n+2）]
=-812n[x²-2（n+13）x+n（n+23）]
=-812n（x-n）[x-（n+23）]，
∴问题转化为判断关于x的方程-812n（x-n）[x-（n+23）]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
即(x-n)[x-(n+23)]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
令g（x）=（x-n）[x-（n+23）]-2n81=xⁿ-6n+23x+3n2+2n3-2n81，
函数y=g（x）的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是直线x=n+13∈[n，n+1]，
判别式△=(-6n+23)2-4(3n2+2n3-2n81)=49+2n+281＞0，
且g（n）=-2n81＜0，g（n+1）=13-2n81=27-2n81．
①当0≤n≤4，n∈N时，∵g（n+1）＞0，
∴方程(x-n)[x-(n+23)]=-1分别在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，5]上各有一解，
即存在5个满足题意的点P．
②当n≥5（n∈N）时，∵g（n+1）＜0，
∴方程(x-n)[x-(n+23)]=-1在区间[n，n+1]，n∈N，n≥5上无解．
综上所述，满足题意的点P有5个．
（3）由（2）知f′（x）=-812n（x-n）[x-（n+23）]，
∴当x∈（n，n+23）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+23，n+1）上递减，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）_max=f（n+23）=12n-1，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，
∴对任意的n∈N^*，当x_n∈[n，n+1]时，都有0≤f(xn)≤12n-1，
∴S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）
≤12-1+120+12+122+…+12n-2
=4-12n-1＜4，
∴0≤S_n＜4．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）对任意的实数x，都有f.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。