题文
已知x=0是函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求单调区间．
（Ⅱ）设g（x）=f′(x)ex，其中x∈[-2，m]，问：对于任意的m＞-2，方程g（x）=（m-1）2在区间（-2，m）上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数．若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex由f′（0）=0得b=-a∴f′（x）=[x2+（a+2）x]ex
又f′（2）=2e2
∴[4+2（a+2）]e2=2e2
故a=-3
令f′（x）=（x2-x）ex≥0得x≤0或x≥1
令f′（x）=（x2-x）ex＜0得0＜x＜1
故：f（x）=（x2-3x+3）gx，单调增区间是（-∞，o]，[1，+∞），单调减区间是（0，1）．
（Ⅱ）假设方程g（x）=23(m-1)2在区间（-2，m）上存在实数根
设x0是方程g(x)= 23(m-1)2的实根，x20- x0 = 23(m-1)2，
令h(x)=x2-x-23(m-1)2，从而问题转化为证明方程h(x)=x2-x-23(m-1)2=0
在（-2，m）上有实根，并讨论解的个数
因为h(-2)=6-23(m-1)2=-23(m+2) (m-4) ，h(m)=m(m-1)-23(m-1)2= 13(m+2)(m-1)，
所以
①当m＞4或-2＜m＜1时，h（2）-h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解
②当1＜m＜4时，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于h(0)=-23(m-1)2 ＜0，
所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有两解
③当m=1时，h（x）=x2-x=0⇒x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；
当m=4时，h（x）=x2-x6=0⇒x=-2或x=3，
所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的m＞-2，方程g（x）=23(m-1)2在区间（-2，m）上均有实数根
且当m≥4或-2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解．
解析
23考点
据考高分专家说，试题“已知x=0是函数f（x）=（x2+ax+.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
