设x1、x2是函数f=ax3+bx2-a2x的两个极值点．若x1=-1，x2=2，求函数f的解析式；若|x1|

题文

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：|g(x)|≤112a(3a+2)2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解 （I）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有f′(-1)=0f′(2)=0，
∴3a-2b-a2=012a+4b-a2=0(a＞0)．
解得a=6b=-9，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（II）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=22，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-2b3a)2-2•(-a3)+2|-a3|=8，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a²（6-a），则p'（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为46．
（III）证明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x1•x2=-a3，x₂=a，
∴x1=-13．
∴|g(x)|=|3a(x+13)(x-a)-a(x+13)|=|a(x+13)[3(x-a)-1]|
∵x₁＜x＜x₂，即-13＜x＜a．
∴|g(x)|=a(x+13)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+13)(x-3a+13)=-3a(x-a2)2+3a34+a2+13a≤3a34+a2+13a=a(3a+2)212．
∴|g（x）|≤a12(3a+2)2成立．

解析

f′(-1)=0f′(2)=0

考点

据考高分专家说，试题“设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。