已知f=x2+C，且f[f]=f设g=f[]，求g的解析式．设ϑ=g-λf，试问是否存在

题文

已知f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
（1）设g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）设ϑ（x）=g（x）-λf（x），试问是否存在实数λ，使ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知：
f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
∴（x²+c）²+c=（x²+1）²+c
∴x⁴+2cx²+c²=x⁴+2x²+1
∴2c=2c2=1，解得：c=1．
∴f（x）=x²+1，∵g（x）=f[（x）]，
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=x⁴+2x²+2．
（2）由（1）可知：f（x）=x²+1、g（x）=x⁴+2x²+2，
∵ϑ（x）=g（x）-λf（x），
∴θ（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，∴θ′（x）=4x³+2（2-λ）x
假设存在使的ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．
则θ′（-1）=0
∴-4-2（2-λ）=0，∴λ=4．
此时：θ（x）=x⁴-2x²-2，∴θ′（x）=4x³-4x．
由θ′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由θ′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故满足题意．
所以存在λ=4使的ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．

解析

2c=2c2=1

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=x2+C，且f[f（x）].....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。