一般地，我们把函数h=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0称为多项式函数，其中系数a0，a1，…，an∈R．设f，g为两个多

题文

一般地，我们把函数h（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀（n∈N）称为多项式函数，其中系数a₀，a₁，…，a_n∈R．
设 f（x），g（x）为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．
（Ⅰ） 若f（x）=x²+3，g（x）=kx+b（k≠0）．
①求g（x）的表达式；
②解不等式f（x）-g（x）＞5．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）无实数解，证明方程f[f（x）]=g[g（x）]也无实数解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）①∵f[g（x）]=g[f（x）]即（kx+b）²+3=k（x²+3）+b k²x²+2kbx+b²+3=kx²+3k+b
∴k=k22kb=0b2+3=3k+b解得k=1b=0∴g（x）=x
②f（x）-g（x）＞5，即x²-x+3＞5 解得 x＞2或x＜-1
（Ⅱ）反证法：F（x）=f（x）-g（x）则 F[f（x）]=f[f（x）]-g[f（x）]F[g（x）]=f[g（x）]-g[g（x）]若结论成立，则推出 F[f（x）]+F[g（x）]=0； 即F[f（x）]=-F[g（x）]说明存在一点a，a介于f（x）与g（x）之间，满足F（a）=0 因为f（x）=g（x）无实数解，则F（x）=0永远不成立，推出假设不成立，
方程f（x）=g（x）无实数解，方程f[f（x）]=g[g（x）]也无实数解．证毕

解析

k=k22kb=0b2+3=3k+b

考点

据考高分专家说，试题“一般地，我们把函数h（x）=anxn+a.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。