已知函数f=-x2+4，设函数F(x)=f(x)，(x＞0)-f(x)，(x＜0)．求F表达式；解不等式1≤F≤2；设mn＜

题文

已知函数f（x）=-x²+4，设函数F(x)=f(x)，(x＞0)-f(x)，(x＜0)．
（1）求F（x）表达式；
（2）解不等式1≤F（x）≤2；
（3）设mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）能否小于0？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F（x）=-x2+4x＞0x2-4x＜0；（2分）
（2）当x＞0时，解不等式1≤-x²+4≤2，得2≤x≤3；（2分）
当x＜0时，解不等式1≤x²-4≤2，得-6≤x≤-5．（2分）
综合上述不等式的解为2≤x≤3或-6≤x≤-5．（2分）
（3）∵mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0，又m+n＞0，∴m＞-n＞0，
∴|m|＞|n|，（2分）
∴F（m）+F（n）=-m²+4+n²-4=n²-m²＜0，
即F（m）+F（n）能小于0．（4分）

解析

-x2+4x＞0x2-4x＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x2+4，设函数F(.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。