已知函数f=x3-3ax，g=lnx．当a=1时，求y=g-f在x=1处的切线方程；若在区间[1，2]上f的

题文

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求y=g（x）-f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（3）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=1时，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
当x=1时，y=ln1-1³+3×1=2．
y′=1x-3x2+3，y^′|_x=1=1．
所以切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-lnxx在[1，2]上恒成立．
设g（x）=x2-lnxx，则g′(x)=2x-1-lnxx2=2x3+lnx-1x2，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a≤13；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值．
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+a)(x-a)，
（ⅰ）当a≥1，即a≥1时，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当0＜a＜1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，1]单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即13≤a＜1时，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，a]上单调递增，在[a，1]单调递减，F(a)=-f(a)=2aa；
2°当f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜13时，
（ⅰ）当-f(a)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤14时，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）当-f(a)＞f(1)=1-3a，即14＜a＜13时，F(a)=-f(a)=2aa．
综上  F(x)=1-3a，(a≤14)2aa，(14＜a＜1)3a-1，(a≥1)．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。