已知数列{an}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1an=kn+1，求证：k=1；设g(x)=anx

题文

已知数列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1an=kn+1，
（Ⅰ）求证：k=1；
（Ⅱ）设g(x)=anxn-1(n-1)!，f（x）是数列{g（x）}的前n项和，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求证：不等式f(2)＜3ng(3)对n∈N₊恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：∵an+1an=kn+1，
∴a2a1=a2=k+1，
又∵a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)
则a₃a₁=a₂a₁+a22，即a3a2=a2+1，又a3a2=2k+1，∴a₂=2k．
∴k+1=2k，解得k=1．
（2）∵an+1an=n+1，∴an=anan-1•an-1an-2…a2a1•a1=n•（n-1）…2•1=n!
∵g(x)=anxn-1(n-1)!=nx^n-1
∴当x=1时，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=n(n+1)2，
当x≠1时，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
得xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ
两式相减得（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=1-xn1-x-nxn
∴f（x）=1-xn(1-x)2-nxn1-x
综上所述：f(x)=n(n+1)2，x=11-xn(1-x)2-nxn1-x，x≠1．
（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，
则f(2)=1-2n(1-2)2-n•2n1-2=（n-1）•2ⁿ+1，
又3ng(3)=3n，下面利用数学归纳法证明：不等式f(2)＜3ng(3)对n∈N₊恒成立．
易验证当n=1，2，3时不等式恒成立； 
假设n=k（k≥3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1
两边乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2
又因为3（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0
所以3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1
即n=k+1时不等式成立．
故不等式恒成立．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an+1a.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。