题文
已知点P在曲线C：y=1x (x＞1)上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为xA、xB，记f（t）=xA•xB．（1）求f（t）的解析式；
（2）设数列{an}满足a1=1，an=f(an-1) (n≥2 且 x∈N*)，求数列{an}的通项公式；
（3）在 （2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式a1+a2+…+an＞3n-8kk． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵y=1x，∴y′=-1x2，
∴切线方程为y-1t=-1t2(x-t)，
与y=kx联立得：xA=2tkt2+1，令y=0，得：xB=2t，
∵f（t）=xA•xB，
∴f(t)=4t2kt2+1（k＞0，t＞1）．
（2）由an=f(an-1)得：an=4an-1kan-1+1，
1an=kan-1+14an-1=14•1an-1+k4，
设bn=1an-k3，
则bn=1an-k3=14(1an-1-k3)=14bn-1，
∵a1=1，
∴①当k=3时，b1=1a1-1=0，
∴{bn}是以0为首项的常数数列，
∴an=1．
②当k≠3时，{bn}是以1-k3为首项，14为公比的等比数列，
∴bn=(1-k3)(14)n-1，
解得an=3•4n-1k•4n-1+3-k，
由①②，得an=3•4n-1k•4n-1+3-k．
（3）∵an-3k=3•4n-1k•4n-1+3-k-3k
=3k-9k(k•4n-1+3-k)
=3k-9k2•4n-1+k(3-k)，
∵1＜k＜3，
∴an-3k＞3k-9k2•14n-1，
∴a1+a2+…+an-3n-8kk
=（a1-3k）+（a2-3k）+…+（an-3k）
=3k-9k2(1+14+…+14n-1)+8
=4(k-3)k2[1-(14)n]+8
＞4(k-3)k2+8
=4(2k+3)(k-1)k2，
∵1＜k＜3，
∴4(2k+3)(k-1)k2＞0．
∴a1+a2+…+an＞3n-8kk．
解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知点P在曲线C：y=1x(x＞1)上，.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
