已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1)。求f(x)的定义域、值域；判断f(x)的单调性，并给出证明。

题文

已知函数f(x)=log_a(a-a^x)(a>1)。
（1）求f(x)的定义域、值域；
（2）判断f(x)的单调性，并给出证明。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由a-a^x＞0，得a^x＜a，
∵函数y= a^x (a>1)为增函数，
∴x＜1，
又∵a^x＞0，
∴0＜a^x＜a，
∴f(x)=log_a(a-a^x)＜1，
故函数f(x)的定义域为（-∞，1），值域为（-∞，1）。
（2）f(x)为减函数。
证明：设x₁＜x₂＜1，则
f(x₁)- f(x₂)=

，
∵x₁＜x₂＜1，a>1，
∴

，
∴

，即

，
∴f(x₁)- f(x₂) ＞0，
∴f(x₁)＞f(x₂)，
∴函数f(x)在定义域（-∞，1）上为减函数。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga(.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）