设函数f(x)=x3+ax2+bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；

题文

设函数f(x)=x³+ax²+bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。
（Ⅰ）求f(x)=x³+ax²+bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设存在两个不等正数s，t(s＜t)，当x∈[s，t]时，函数f(x)=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）f′(x)=3x²+2ax+b，
依题意，有：

，即

，
解得：

,
所以，f(x)=x³-6x²+9x，
f′(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，
由f′(x)=0可得x=1或x=3，
f′(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况为：

x

0

（0，1）

1

（1，3）

3

（3，4）

4

f′(x)

 

+

0

-

0

+

 

f(x)

0

增函数

4

减函数

0

增函数

4

所以函数f(x)=x³-6x²+9x在区间（0，4]上的最大值是4，最小值是0。
（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点(3，0)不在区间[s，t]上；
①若极值点M(1，4)在区间[s，t]上，此时0＜s≤1≤t＜3，
故有(i)

或(ii)

，
(i)由k=

，1≤t＜3知，k∈(

，4]，当且仅当t=1时，k=4；
再由k=(s-3)²，0＜s≤1知，k∈[4，9)，当且仅当s=1时，k=4；
由于s≠t，故不存在满足要求的k值．
(ii)由

，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，
所以k=

，2≤t＜3知，k∈(

，2]；
即当k∈(

，2]时，存在t=

∈[2，3)，

∈(0，1]，
且f(s) ≥4s=

f(t) ＞f(t)，满足要求。
②若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，则0＜s＜t＜1或3＜s＜t，且

，
故s，t是方程x²-6x+9=k的两根，
由于此方程两根之和为3，故[s，t]不可能同在一个单调增区间内；
③若函数f(x)在区间[s，t]上单调递减，则1＜s＜t＜3，

，
两式相减并整理得s²(s-3)³=t²(t-3)²，
由1＜s＜t＜3知s(s-3)=t(t-3)，即s+t=3，
再将两式相减并除以s-t，得
-k=(s²+st+t²)-6(s+t)+9=(s+t)²-6(s+t)+9-st=-st，即k=st，
所以s，t是方程x²-3x+k=0的两根，
令g(x)=x²-3x+k，
则

，
解得2＜k＜

，即存在s=

，t=

满足要求。
综上可得，当

＜k＜

时，即k∈（

，

）时，存在两个不等正数s，t(s＜t)，使x∈[s，t]时，函数f(x)=x³-6x²+9x的值域恰好是[ks，kt]。

解析

x

0

（0，1）

1

（1，3）

3

（3，4）

4

f′(x)

 

+

0

-

0

+

 

f(x)

0

增函数

4

减函数

0

增函数

4

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x3+ax2+bx.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）