设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有。设f(1)=2，求； 证明f(x)为周期函数。

题文

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意x₁，x₂∈[0，

]，都有

。
（1）设f(1)=2，求

；
（2）证明f(x)为周期函数。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）解：由

，

知，


，
∵

，
又

，
∴

，




，
又

，
∴

。
（2）证明：依题意，设y=f（x）关于直线x=1对称，f（x）=f（2-x），x∈R，
又∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），x∈R，f（-x）= f（2-x），
以-x代x有f（x）=f（2+x），x∈R，
这说明f（x）是R上的周期函数，且2是它的周期。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)是定义在R上的偶函.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）