若函数f为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]D，使得当x∈[a，b]时，f的取值范围恰为[a，b]，则称函数f是D上

题文

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]

D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间，
（1）已知

是[0，+∞)上的正函数，求f（x）的等域区间；
（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为

是[0，+∞)上的正函数，且

在[0，+∞)上单调递增，
所以当x∈[a，b]时，

，
解得a=0，b=1，
故函数f（x）的“等域区间”为[0，1]；
（2）因为函数

是（-∞，0）上的减函数，
所以当x∈[a，b]时，

，
两式相减得

，即b=-（a+1），
代入

，
由a＜b＜0，且b=-（a+1）得

，
故关于a的方程

内有实数解，
记

，
则

，解得

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）为定义域D上单调函数.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）