已知函数f=ax﹣lnx+1，g=x e1-x。求函数g在区间是否存在实数a，对任意给定

题文

已知函数f（x）=ax﹣lnx+1（a∈R），g（x）=x e^1-x。
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x₀，y₀）（其中

总能使得F（x₁）﹣F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵g'（x）=e^1-x+xe^1-x=e^x-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，
在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e²-e
函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]。
（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，
原问题等价于：对任意的m∈（0，1]
f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              
∴


当a≤0时，

，在区间[1，e]上递减，不合题意
当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意
当

时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意
当

即

时，在区间

上单调递减；在区间

上单递增，
由上可得

，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，
而由

可得

，
则a∈Φ
综上，满足条件的a不存在.
（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于k_AB，不妨设0＜x₁＜x₂，
则

，
而f（x）在点M处的切线斜率为

，
故有

…
即

，
令

，
则上式化为

，
令F（t）=

，
则由


可得F（t）在（0，1）上单调递增，
故F（t）＜F（1）=0，
即方程

无解，
所以函数f（x）不具备性质“L”。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax﹣ln.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）