已知函数f=1ax+1+b，是奇函数求实数b的值；判断函数f的单调性，并用定义证明；当x∈时，求

题文

已知函数f（x）=1ax+1+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数
（1）求实数b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+af(x)的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵定义域为R，
∴f（0）=0，∴b=-12；
（2）是单调递增函数．
∵定义域为R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(1ax1+1-12)-(1ax2+1-12)=ax2-ax1(ax1+1)(ax2+1)
∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴ax2-ax1(ax1+1)(ax2+1)＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=1ax+1-12，（0＜a＜1）是单调递增函数
（3）y=g（t）=t+at，t∈(0，12)
当0＜a＜1a≥12⇒14≤a＜1时，y=g（t）在t∈(0，12)单调递减，
值域：(2a+12，+∞)
当0＜a＜1a＜12⇒0＜a＜14时，y=g（t）=t+at≥2a，
当且仅当t=a∈(0，12)时，y_min=2a，
值域：[2a，+∞)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=1ax+1+b，（0＜.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）