已知函数f=x2-2x，g=x2-2x，x∈[2，4]求f，g函数的值域；函数H=f+g定义域为[

题文

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=x²-2x，x∈[2，4]
（1）求f（x），g（x）函数的值域；
（2）函数H（x）=f（x-c）+g（x+c）定义域为[8，10]，求c．
（3）函数H（x）=f（x-c）+g（x+c）（c≤0）的最大值为32，求c的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）因为f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，函数f（x）的定义域为R，所以f（x）≥-1，
即函数f（x）的值域[-1，+∞）．
因为g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，且x∈[2，4]，所以g（x）的最大值为g（4）=8，最小值为g（2）=0，
所以g（x）的值域[0，8]..…..（4分）
（2）因为g（x），x∈[2，4]，所以要使H（x）由意义，设H（x）定义域M，
由题意得 M={x|2≤x+c≤4}，即M={x|2-c≤x≤4-c}，所以有2-c=8，所以c=-6．（4分）
(3)H(x)=f(x-c)+g(x+c)=(x-c)2-2(x-c)+(x+c)2-2(x+c)=2x2-4x+2c2，
由（2）知，当c≤0时，函数的定义域为[2-c，4-c]，
因为 c≤0，所以函数在[2-c，4-c]上单调递增，
由已知函数H（x）=f（x-c）+g（x+c）的最大值32，所以H（4-c）=24，
有c²-3c-4=0，解得c=4或c=1．舍去c=4，所以c=1…．（4分）

解析

(3)H(x)=f(x-c)+g(x+c)=(x-c)2-2(x-c)+(x+c)2-2(x+c)=2x2-4x+2c2，

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）