已知函数f=ax-24-ax-1．求函数f的定义域、值域；是否存在实数a，使得函数f满足：对于区间

题文

已知函数f（x）=a^x-24-ax-1（a＞0，a≠1）．
（I）求函数f（x）的定义域、值域；
（II）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由4-a^x≥0，得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=4-aX，则0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴设g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
当t∈[0，2）时，g（t）是单调减函数，∴-5＜y≤3，
∴函数f（x）的值域是（-5，3]．
（II）若存在实数a使得对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0，则区间（2，+∞）是定义域的子集．
由（I）知，若a＞1不满足条件；
若0＜a＜1，x∈（2，+∞），0＜a^x＜a²＜1，则t∈[4-a2，2)．
g（t）═-（t+1）²+4的对称轴为x=-1，在t∈[4-a2，2)为减函数
因为∵a2＜1 ∴ 4-a2＞ 1，g(4-a2)＜g(1)=0
∴x∈（2，+∞），f（x）＜0，即f（x）≥0不成立．
综上，满足条件的a的取值范围是∅．

解析

4-aX

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax-24-ax-1（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）