设函数g(x)=x+1，函数h(x)=1x+3，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f=g•h．求函数f的表达式，并求其

题文

设函数g(x)=x+1，函数h(x)=1x+3，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=14时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为[13，12]？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=x+1x+3，其定义域为[0，a]；（2分）
（2）令t=x+1，则t∈[1，32]且x=（t-1）²
∴y=f(x)=t(t-1)2+3=tt2-2t+4（5分）
∴y=1t-2+4t
∵t-2+4t在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴tt2-2t+4在[1，32]上递增，即此时f（x）的值域为[13，613]（8分）
（3）令t=x+1，则t∈[1，1+a]且x=（t-1）²∴y=1t-2+4t
∵t-2+4t在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴y=tt2-2t+4在[1，2]上递增，[2，1+a]上递减，（10分）
t=2时tt2-2t+4的最大值为12，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2时13＜tt2-2t+4
∴由f（x）的值域恰为[13，12]，由tt2-2t+4=13，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰为[13，12]时，1+a≤4⇒a≤9（13分）
所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）

解析

x+1x+3

考点

据考高分专家说，试题“设函数g(x)=x+1，函数h(x)=1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）